植物・資源
草食動物に摂取される層。動物の死亡成分が還元され、空間には弱い一定拡散を持ちます。
RESEARCH / 04
生態系PDE
捕食・逃避・探索が、生物の分布をどう変えるか。
THREE-LAYER ECOSYSTEM / 2D PDE
食べる。追う。逃げる。探す。
そのつながりが、生態系を動かす。
捕食者・草食動物・植物の3層を、二次元の空間に広がる密度として表すモデルです。3層ODEの捕食・摂食・死亡・還元の構造を引き継ぎ、餌への追跡、捕食者からの逃避、探索的な広がりをPDEに組み込みます。各層の量と、どこに生物が集まるかを同時に追います。
3層を結ぶ、捕食と還元の循環。
摂食→層間変換
草食動物
植物を摂取して増え、捕食と死亡で減ります。植物の多い方向を追い、捕食者の多い方向から逃げます。
捕食→層間変換
捕食者
草食動物を摂取して増え、死亡で減ります。草食動物の密度が高くなる方向を追跡します。
↶ 動物の死亡成分は、植物・資源層へ。
モデルでは、捕食者と草食動物の死亡成分を、変換係数に従って植物・資源層へ戻します。
MOVEMENT IN SPACE
生物の分布に応じて、動く方向が変わる。
餌を追う
捕食者は草食動物、草食動物は植物の密度が高くなる方向へ移動します。このような方向性のある移動を「タクシス」として表します。
捕食者から逃げる
草食動物には、捕食者密度が高くなる方向と逆向きの速度成分を加えます。逃避の強さを変え、分布や各層の量への影響を調べます。
手がかりが弱ければ探す
餌の密度勾配が弱い場所では探索拡散を強め、方向が明瞭な場所では拡散を弱めます。探索拡散係数は常に正に保ちます。
ある場所での密度の変化 ＝ 局所的な増減 − その場所から出る正味の流れ
「その場で起きる捕食・摂食」と「別の場所へ動くこと」を分けて計算します。外周は生物が出入りしない境界とし、内部の移動によって総量が増減しない保存形で記述します。
追跡と逃避から、生息域はどう形づくられるか？
個々の生物に生息域を指定せず、密度分布に応じた局所的な移動と層間の相互作用から、空間構造がどう生まれるかを調べます。逃避成分を変えたケースを比較し、分布と各層の時間変化を検討します。
逃避なしescape = 0
標準逃避escape = 0.005
逃避応答を1.5倍escape = 0.0075
1.5倍にするのは逃避の速度成分です。植物を追う成分や探索拡散は同じ設定に保ちます。
MODEL VERIFICATION
循環の整合性を確かめながら、計算する。
層ごとの変換係数を反映した「重み付き総量 Q」を検算に用います。捕食や還元で各層の量が変わっても、閉じた境界の下でモデル全体の Q が保存される構造です。
| 求解範囲 | モデル時刻 t = 50 まで数値解を取得 |
|---|---|
| 保存量の診断 | Q の最大相対ドリフトは 8.145 × 10⁻⁶（固定格子による近似積分） |
| 密度の診断 | 21時刻・各41×41の標本点では、3層とも負値を検出せず |
このケースの層総量には、植物増加 → 草食動物増加 → 捕食者回復という位相差を伴う減衰振動が報告されています。t = 50 でも小振幅振動が残るため、長時間の挙動や逃避強度による違いは、同一条件での比較・格子を細かくした計算で検証を進めます。
モデルの数式と保存量を見る
局所反応 Rᵢ と空間流束 Jᵢ を分け、保存形で記述します。
∂uᵢ/∂t + ∇·Jᵢ = Rᵢ (i = 1, 2, 3)
捕食者と草食動物の速度場は、正則化した密度勾配から与えます。
gᵢ = √(|∇uᵢ|² + ε²)
v₁ = χ₁ ∇u₂ / g₂
v₂ = χ₂ ∇u₃ / g₃ − escape ∇u₁ / g₁
捕食者・草食動物の流束は、密度×速度から探索拡散を差し引いた形です。植物は弱い一定拡散のみを持ちます。
J₁ = u₁v₁ − D₁(|∇u₂|)∇u₁
J₂ = u₂v₂ − D₂(|∇u₃|)∇u₂
J₃ = −d₃∇u₃
重み付き総量と境界条件：
Q(t) = ∫Ω [ρ₁ρ₂u₁ + ρ₂u₂ + u₃] dA
ρ₁ρ₂R₁ + ρ₂R₂ + R₃ = 0
n·Jᵢ = 0（領域外周）
この構造から連続モデルでは dQ/dt = 0 となります。Q は各層の単純和とは異なり、各層の総量 Uᵢ = ∫ΩuᵢdA がそれぞれ一定であることも意味しません。数値計算では Q のドリフト、標本点での非負性、格子・時間刻みに対する収束を別々に確認します。
「菊地3層生態系2次元PDEモデル設計書（逃避項あり）」Version 1.0（2026年10月12日）に基づく研究概要。上記の数値は設計書に記載された検証記録です。