独身男性の年齢分布
x は男性の年齢。年齢ごとの人数の密度を表し、1年で1歳ずつ年を重ねます。
RESEARCH / 03
人口動態PDE
出生・加齢・ペア形成をつなぎ、世代の循環を数理で捉える。
KIKUCHI AGE-STRUCTURED POPULATION MODEL
人は年を重ね、ペアを形成し、
次の世代へつながっていく。
人口を一つの総数にまとめず、「誰が何歳で、どの状態にいるか」を追うモデルです。独身男性・独身女性・ペアの年齢分布を、出生・加齢・ペア形成・死亡・離別で結び、人口総数とペア構造がどう変わるかを偏微分方程式（PDE）で記述します。
菊地いたずら人口モデル / 年齢構造PDE出生から、次の出生へ。
「出生 → 年齢分布 → ペア形成 → 出生」の循環に、死亡・離別・残存者の再流入を組み込みます。
独身女性の年齢分布
y は女性の年齢。同じく1年で1歳ずつ年を重ね、ペア形成や死亡で分布が変わります。
男女それぞれの年齢分布と、形成強度 n(t,x,y) に応じてペアを形成
二人の年齢の組合せを追う
男性 x 歳・女性 y 歳のペアが、どれだけ存在するかを表します。ペアができると独身側から男女各1人が移り、1組として数えられます。二人の年齢は同時に進みます。
ペアの分布 × 時刻・男女年齢別の出生強度 b(t,x,y) を合計
新しい世代が、年齢0から加わる
出生児に占める男性割合 br(t) に従い、男性は M(t,0)、女性は F(t,0) へ流入します。出生は新生児を加える流れであり、親のペアを消費する項ではありません。
↶ 新生児が年を重ね、再びペア形成へ
独身側へ加わった次世代が加齢し、年齢分布を変えながら次の出生につながります。離別した二人や、死別後に残された一人も独身側へ戻ります。
年齢0への流入 → 加齢 → ペア形成 → 出生 → 年齢0へAGE ADVECTION
「移流」は、年を重ねること。
男性年齢 x と女性年齢 y を別々の軸で持つため、同年齢だけでなく、年齢差のあるペアも表現できます。1年で両者が1歳ずつ加齢し、ペアの分布は年齢平面上を速度 (1,1) で進みます。
対象年齢は0〜120歳。出生は年齢0の境界から入り、120歳はモデル領域から出る境界です。片側だけが境界へ達したペアでは、残された側を同じ年齢の独身人口へ戻します。
STATE TRANSITIONS & POPULATION BALANCE
ペアが減ることと、人口が減ることを分ける。
| 起きること | モデル内の移動 | 総人口の変化 |
|---|---|---|
| ペア形成 | 独身男性1人＋独身女性1人 → ペア1組 | 変わらない |
| 離別 | ペア1組 → 独身男性1人＋独身女性1人 | 変わらない |
| 片側の死亡 | 死亡した1人は系外へ。残存者1人は独身側へ | 1人減る |
| 両者の同時死亡 | ペアの2人が系外へ | 2人減る |
| 独身者の死亡 | 独身男性または独身女性が系外へ | 1人減る |
| 出生 | 新生児を男女の年齢0境界へ配分 | 出生児の人数だけ増える |
| 120歳境界 | 上限に達した人がモデル領域から流出。ペアの残存側は独身へ | 流出した人数だけ減る |
人数収支を、モデル全体で確かめる。
総人口の変化 ＝ 出生 − 死亡 − 120歳境界からの流出
独身者は1人、ペアは1組あたり2人として集計します。ペア形成と離別は状態間の移動なので、総人口の収支では相殺されます。
RESEARCH PERSPECTIVES
このモデルで、何を調べるか。
出会いと出生を分ける
ペア形成の強度 n(t,x,y) と、形成されたペアからの出生強度 b(t,x,y) を分け、それぞれの変化が世代の循環にどう作用するかを調べます。
年齢の組合せを追う
男女の年齢構成や年齢差、出生男女比の時間変化が、将来のペア形成・出生にどうつながるかを検討します。
人口とペア構造を追う
死亡・離別・再流入を同じ系で扱い、人口総数の変化と、ペアや独身人口の構成の変化を分けて追跡します。
モデルの変数と数式を見る
M(t,x)：独身男性の人口密度、F(t,y)：独身女性の人口密度、C(t,x,y)：男女年齢の組合せ別のペア密度。t は時刻、x・y は年齢です。
ペア形成率：
P(t,x,y) = n(t,x,y) M(t,x)F(t,y) / {M(t,x)+F(t,y)}
ペアの加齢と状態変化：
∂C/∂t + ∂C/∂x + ∂C/∂y = P − (d_f + d_m + d_c + ℓ)C
d_f はペア内の女性死亡率、d_m は男性死亡率、d_c は同時死亡率、ℓ は離別率です。独身者自身の死亡率は別に μ_M・μ_F として扱います。
出生と年齢0の流入境界：
Birth(t) = ∫₀¹²⁰ ∫₀¹²⁰ b(t,x,y)C(t,x,y) dx dy
M(t,0) = br(t) Birth(t)
F(t,0) = [1 − br(t)] Birth(t)
ペアの年齢0境界には流入を与えず、C(t,0,y)=C(t,x,0)=0 とします。年齢上限120歳は流出境界として扱います。
総人口：
N(t) = ∫₀¹²⁰ M(t,x)dx + ∫₀¹²⁰ F(t,y)dy + 2∫₀¹²⁰∫₀¹²⁰ C(t,x,y)dxdy
同じ出生総数なら、その時点の総人口への加算は男女比 br(t) によらず Birth(t) です。年齢分布・男女構成が変わることによる将来の影響は、別途時間発展として追います。
提供された「菊地いたずら人口モデル」理論設計書（本文表記 ver.0.2、2026年10月5日）に基づく概念説明です。計算結果や、観測データに対する予測精度を示すものではありません。設計書では、移住・出生履歴・多様な世帯状態の導入や、観測データからの率関数の推定を今後の拡張として挙げています。